利用Python实现最小二乘法与梯度下降算法

(编辑：jimmy 日期: 2024/12/27 浏览：3 次 )

导入所需库

%matplotlib inline
import sympy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x as a,y as b

生成模拟数据

# 模拟函数 y=3x-1

#自变量
x=np.linspace(-5,5,num=1000)
#加入噪声
noise=np.random.rand(len(x))*2-1
#因变量
y=3*x-1+noise

查看所生成数据的图像

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)

求代价函数的偏导

y=ax+b  #目标函数

e=1/2*Σ([axi+b]-yi)^2   #代价函数，求使得代价函数为最小值时，对应的a和b

对a求偏导->Σ(axi+b-yi)*xi

对b求偏导->Σ(axi+b-yi)

1. 通过最小二乘法求a，b

我们知道当在a,b处的偏导为0时，代价函数e达到最小值，所以得到二元一次方程组

Σ(axi+b-yi)*xi=0
Σ(axi+b-yi)=0

该方程组是关于未知数为a,b的二元一次方程组，通过求解该方程，得到a，b

result=sympy.solve([
  np.sum((a*x+b-y)*x),
  np.sum(a*x+b-y)],[a,b])
print(result)	#{x: 3.01182977621975, y: -1.00272253325765}

通过sympy库解方程组，得出了a= 3.01182977621975，b= -1.00272253325765，已经与我们真实的a，b很接近了，下面进行作图

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)
plt.plot(x,result[a]*x+result[b],c='red')

print(type(a),type(b))	#<class 'sympy.core.symbol.Symbol'> <class 'sympy.core.symbol.Symbol'>

2. 通过梯度下降算法求a，b

我们注意到最小二乘法最后一步要求p个方程组，是非常大的计算量，其实计算起来很难，因此我们就有了一种新的计算方法，就是梯度下降法，梯度下降法可以看作是更简单的一种求最小二乘法最后一步解方程的方法

# 注意这里覆盖了sympy.abc的a和b
# 设定a和b的起始点
a,b=0.1,0.1

#步长，也称作学习率
alpha=0.00001

#循环一千次结束
for i in range(1000):
  a-=alpha*np.sum((a*x+b-y)*x)
  b-=alpha*np.sum(a*x+b-y)

print(a,b)	#3.0118297762197526 -1.002674927350334

通过梯度下降法，得出了a= 3.0118297762197526，b= -1.002674927350334，也是很接近真实的a，b值了，作图看看

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.scatter(x,y,s=1)
plt.plot(x,a*x+b,c='black')

print(type(a),type(b))	#<class 'numpy.float64'> <class 'numpy.float64'>

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